Eğer X bir kümeyse,
kümesinden X kümesine giden bir fonksiyona X kümesi üzerine ikili işlem denir. İkili işlemi
olarak gösterirsek, f(x,y) yerine genellikle x + y,
,
ya da daha yaygın olarak xy yazmak bir gelenek halini almıştır. Burada önemli olan, her
için, işlemin sonucu olan
elemanının gene X kümesinde olmasıdır, yoksa ikili bir işlemden söz edemeyiz. Örneğin, X = N (doğal sayılar kümesi) ise, x − y işlemi bu küme üzerinde ikili bir işlem değildir, çünkü, örneğin, 5 − 7 bir doğal sayı değildir. Öte yandan
olarak tanımlanan işlem doğal sayılar kümesi üzerine ikili bir işlemdir.
İkili işlem yerine kısaca "işlem" denildiği de olur.
x + y yazılımı sadece işlem değişmeli olduğunda, yani kümedeki her
için
olduğunda kullanılır.
İşlemlerde genellikle her
elemanı için
eşitliği aranır, çünkü yoksa hayat çok zor olur, örneğin x3 elemanından rahatça (yani özel bir tanıma gerek kalmadan) söz edebilmek için
eşitliği geçerli olmalıdır. Bu özelliğe birleşme özelliği adı verilir.
Eğer her
için ex = x eşitliğini sağlayan bir
elemanı varsa, e'ye işlemin soldan etkisiz elemanı adı verilir. Sağdan etkisiz eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan etkisiz elemanlar eşit olmak zorundadırlar, nitekim eğer e soldan, f de sağdan etkisizse f = ef = e olur. Öte yandan bir işlemde sağdan etkisiz eleman yoksa birden fazla soldan etkisiz eleman olabilir. Örneğin
olarak tanımlanan işlemde her
soldan etkisizdir; ve eğer kümede birden fazla eleman varsa bu işlemin sağdan etkisiz elemanı yoktur. Sağdan ve soldan etkisiz olan elemana kısaca etkisiz eleman denir.
Eğer her
için ax = a ise a'ya soldan yutan eleman denir. Sağdan yutan eleman benzer biçimde tanımlanır. Soldan ve sağdan yutan elemanlar - olduklarında - eşittirler, çünkü eğer a soldan, b de sağdan yutansa, o zaman a= ab = b olur.
Matematiğin en önemli işlemlerinden biri fonksiyonların bileşke işlemidir. Eğer X bir kümeyse, Fonk(X,X), Xkümesinden X kümesine giden fonksiyonlar kümesi olsun. Eğer
Fonk(X, X) ise, gene X kümesinden Xkümesine giden ve adına "f ile g fonksiyonlarının bileşkesi" denilen f o g fonksiyonunu şöyle tanımlayalım: Her
için, (f o g)(x) = f(g(x)) olsun. Bu, Fonk(X, X) kümesi üzerine bir işlemdir. Bu işlemin birleşme özelliği vardır ama değişmeli değildir ve ayrıca etkisiz elemanı IdX olarak gösterilen özdeşlik fonksiyonudur.
İkili işlem yerine kısaca "işlem" denildiği de olur.
x + y yazılımı sadece işlem değişmeli olduğunda, yani kümedeki her
İşlemlerde genellikle her
Eğer her
Eğer her
Matematiğin en önemli işlemlerinden biri fonksiyonların bileşke işlemidir. Eğer X bir kümeyse, Fonk(X,X), Xkümesinden X kümesine giden fonksiyonlar kümesi olsun. Eğer
