- Katılım
- 1 Temmuz 2014
- Mesajlar
- 139
- Tepkime puanı
- 1
- Puanları
- 106
Matematikte Bunalımlar
Matematiğe çok kez gelişimini doğru bir çizgi üzerinde sürdüren (ya da adım adım ilerleyen), problem-lerini er geç çözüme ulaştıran istikrarlı bir bilim gözüyle bakılır. Fakat bilimin diğer dallarında tanık olduğumuz türden duraklama, yoklaşma ya da bunalımlara; görüş yaklaşım ve yorum farklılıklarına matematikte de rastla-maktayız. Ancak her bunalımı, tüm olumsuz görünümüne karşın, yeni bir atılım veya açılmaya giden yolda baş-langıç koşulu olarak adlandırabiliriz. Bunalımlar, kısa ya da uzun sürsün hiçbiri geçici bir bocalama olmaktan ileri geçememiş; kimi kez sanıldığının tersine, matematiği ne geçersiz ne de işlemez kılan bir olay olmuştur.
Tarih boyunca matematiğin geçirdiği bunalımları dört ayrı ana bölümde toplayabiliriz:
• gibi rasyonel olmayan sayıların yol açtığı, başlangıçta “olanaksız” ya da “saçma” sayılan negatif (-1) ve sanal ( ) sayıların ortaya çıkmasıyla süren bunalım;
• Başlangıçta sağlam bir temele oturtulamayan ve kavramsal belirsizlik içinde kalan diferansiyel ve integral hesapların yol açtığı bunalım;
• Euclides’in 5.pustulatına ilişkin kuşku ve doyumsuzluktan kaynaklanan, Euclides dışı geometrile-rin ortaya çıkmasıyla büyüyen bunalım;
• Kümeler teorisinde başlayan paradoksların yarattığı, daha sonra Gödel teoremleriyle yeni bir boyut kazanan bunalım.
İlk Bunalım :İrrasyonel Sayılar
Matematikte bilinen ilk bunalım antik Yunan döneminde (İ.Ö. 5.y.y.) ortak ölçüsüz büyüklüklerin bulunmasıyla ortaya çıkar. İki tamsayının bölümü olarak belirlenemeyen doğru parçalarının varlığı,örneğin ke-narı bir birim olan karenin köşegeni, rasyonel bir sayı ile belirlenemeyen bu türden bir doğru parçasıdır. Bunun
yanı sıra Zeno’nun adıyla anılan birtakım paradoksların ortaya çıkmasıyla matematikteki bunalım yoğunluk kazanır. Değişik biçimlerde dile getirilen Zeno paradokslarının ortak özelliği şöyle bir varsayıma dayanmakta-dır: Sonlu bir sürede sonsuza giden sayıda devinime olanak yoktur.(Zeno paradoksunun yakından bakıldığında bir çıkarım hatasından kaynaklandığı görülür:Bir büyüklüğün sonsuz sayıdaki bölümlerinin toplamı o büyüklü-ğü sonsuz yapmaz.)
Matematiğin bu ilk bunalımdan çıkması kolay olmamıştır. İlk bunalımdan kurtuluş arayışları başlıca iki gelişmeye yol açmıştır:
I. İlginin sayısal kuramlardan geometriye kayması.
II. Geometrinin aksiyomatik bir sistem olarak oluşması.
İkinci Bunalım :Sonsuz Küçükler Hesabı
Modern matematik başladığında, matematik geleneğinde iki düşünce saklıdır. Bunlardan biri, Antik Yunan matematiğinden kaynaklanan ispata dayalı geometri, diğeri Hint ve İslam matematiğinde ön plana çıkan sayı kavramı ve ona dayalı cebir. Bugün bildiğimiz matematiği büyük ölçüde XVII. yüzyılda gerçekleşen iki önemli buluşun yol açtığı gelişmelere borçluyuz.
Bunlardan ilki Descartes (1596 - 1650)’in o zamana dek birbirinden tümüyle ayrı görünen matematiğin iki dalını, geometri ile cebiri, birleştirme çabasının bir ürünüdür. Şimdi analitik geometri olarak bilinen bu çalışmada, koordinatlar aracılığıyla eğrileri denklemlerle, dolayısıyla eğrilerin geometrik özelliklerini cebirsel formüllerle belirleme olanağı doğar. Üstelik denklemleri de grafikle dile getirmeye olanak sağlamakla analitik geometri, cebirin analize dönüşmesine, bu arada değişken, fonksiyon ve fonksiyonel bağımlılık gibi kavramların belirginleşmesine, bu kavramların geometrik terimlerle ifadesine yol açar.
İkinci büyük gelişme, daha sonra analiz denen çalışmaya yol açan, Newton ile Leibniz’in birbirinden bağımsız olarak oluşturdukları sonsuz küçükler hesabıdır.(infinitesimal calculus)
XIX. yüzyıl matematikçileri, ulaştıkları parlak başarıların etkisinde, eleştirel tutumdan uzak kalmış, her şeyin yolunda olduğu gibi bir iyimserlik havasına girmişlerdi. Bu yüzden olmalı ki, ne analitik geometri, ne de sonsuz küçükler hesabı sağlam bir temele oturtulmadan kalmıştı. XIX. yüzyılda Gauss (1777-1855) ile Cauchy
( 1789- 1857 ) gibi matematikçiler bir yandan eleştirel tutum izlerken, öbür yandan yeni buluşlara yönelik atılımlar sergilemişlerdir. Gauss çalışmasının önemli bir bölümünü matematiği sağlam bir temele oturtma amacına yöneltmişti. Onun cebirin temel teoremi olarak bilinen karmaşık sayılar alanında her cebirsel
denklemin bir kökü olduğu savını ispat uğraşı bu amaca yönelik önemli bir çalışmadır. O güne değin belisiz kalan karmaşık sayılar kavramı bile Gauss’un çalışmasında açıklık kazanır.
Analizi gerçel sayılar alanından karmaşık sayılar alanına genişletme işini ise büyük ölçüde Cauchy’ye borçluyuz. Karmaşık bir değişkene ait karmaşık fonksiyonlar teorisini oluşturan Cauchy, sonsuz küçükler gibi ne olduğu açık olmayan kavramları matematikten ayıklama çabasıyla analizde gerçek bir reforma yönelir. (Sonsuz küçükler giderek kaybolma yolunda -yani sıfıra yaklaşan- nesnel miktarlar olarak varsayılıyor, diferansiyel katsayı ve integrallerin bunlardan oluştuğu sanılıyordu. Oysa, bu kavram tam bir belirsizlik içindeydi.) Limit süreklilik gibi kavramlar ilk kez onun elinde açık ve belirgin anlamlarını kazanmıştır. Cauchy’nin limitler teorisi daha sonra Weierstrass’ın çalışmasıyla birleşerek sonsuz küçükler kavramını gerek-siz kılar. Bu gelişmeyle ortaya çıkan sonsuz sayılar ile süreklilik sorunlarını ise George Cantor ele alır. Cantor sonsuz bir dizi ya da kümeyi, kardinal sayısı herhangi bir alt-bölümünün kardinal sayısına denk olan küme diye tanımlar. Başka bir deyişle sonsuz bir kümedeki elemanlar ile, o kümenin bir alt-bölümüne ait elemanlar bire-bir eşleştirilebilir. Cantor, geliştirdiği sonsuz sayılar teorisinde farklı büyüklükte sonsuz dizi ya da kümelerin olduğunu gösterir.
Analiz bugün bilinen kimliğine büyük ölçüde XIX. yüzyılın ikinci yarısında Karl Weierstrass(1815-1897)’ın çalışmasıyla ulaşır.
Üçünü Bunalım :Euclides-dışı Geometriler
İki bin yılı aşkın bir süre boyunca “biricik geometri” kimliğini koruyan Euclides geometrisinden farklı geometrilerin ortaya çıkışı kolayca sindirilebilir bir gelişme olamazdı. Kant’a göre geometrinin konusu uzay, temel özelliklerini aklımızın yapısına borçluydu; geometri önermeler bu nedenle zorunlu a priori doğrulardı. Başka bir deyişle, bir tek geometriye olanak vardı, o da Euclides geometrisiydi.
Biri analizde, diğeri geometride ortaya çıkan bu iki tedirginlik, XIX. yüzyılı bir bunalım dönemine dönüştürmüştü. İlk kez bu dönemde birtakım belirsizlik, çelişki ve üstünkörülüklerle yüklü olduğu gözlenen matematiğin, aynı zamanda temelde bir bütün oluşturduğu bilinci uyanmıştır. Bunalımı aşma çaba ve arayışla-rının hemen hepsinde bu ortak bilincin etkisini bulmaktayız.
Matematiğin pekiştirilmesine yönelik bu çabada “mantıksal” diyebileceğimiz bir yaklaşımdan da söze-debiliriz. Richard Dedekind(1831-1916)’in çalışmasında kendini gösteren bu yaklaşım, Peano, Frege ve Russell gibi mantıkçı-matematikçilerde daha belirgin bir karakter kazanır.
Daha çok gerçel sayılara ilişkin teorik çalışmalarıyla tanınan Dedekind, diferansiyel ve integral hesapla-rı aritmetik bir temele oturtmaya yönelir. Mantıksal çözümlemeyi içeren bu temellendirme, Peano ile önemli bir dönüm noktasına ulaşır. Peano da Dedekind gibi, kavram ve yöntemlerde üstünkörülükten kurtulma, daha kesin ve belirgin olma çabasındaydı. Matematikte sağduyu ile sezgiye gereğinden fazla yer verilmesi tutumuna karşıydı. Soyut matematik, sağduyu ve sezgiye dayanan gelişigüzel bir çalışma olamazdı; tersine, kendi içinde yeterli, formel ya da mantıksal bir sistem olmalıydı.
Frege, matematiğin mantıksal temellerini derinlemesine irdelemiş, aritmetiğe, geometrinin eriştiği düze-yin de ötesinde bir ispat bilimi kimliği kazandırmaya çalışmıştır. Matematik bir yandan daha sıkı bir mantıksal nitelik kazanırken öte yandan ona sağlam bir temel bulma çabaları yer almaya başlar. Yüzyılımızın başlarında büyük yoğunluk kazanan bu çabalar, önceki yüzyıllarda ulaşılan sonuçları daha belirgin, tutarlı ve kesin kılma-nın yanısıra, matematiksel düşünme yöntemine de bir açıklık getirir. Artık matematiğe bir yığın formül, teknik bilgi ve teorem ispatı içeren soyut bir çalışma olmanın ötesinde bir düşünme yöntemi gözüyle bakılmaya başlanır.
Dördüncü Bunalım
aradokslar
Yüzyılımızın başında patlak veren bu bunalım Cantor’un genel kümeler kuramına ilişkin paradokslardan kaynaklanır. Cantor oluşturduğu kümeler kuramında herhangi bir sonsuz sayıdan daima daha büyük sonsuz bir sayının olduğunu ispatlamıştı.
Bertrand Russell (1872-1970)’ın 1901’de bulduğu paradoks doğrudan küme kavramından kaynaklanan bir paradokstu. Russell kümeleri kendi kendisine üye olup olmamasına göre ikiye ayırarak, paradoksunu oluşturur. Russell paradoksu, kümeler teorisinde matematik için sağlam bir temel bulunduğu düşüncesine bek-lenmeyen bir darbe indirir.
Bugün bile doyurucu bir çözüme kavuştuğu söylenemeyen bu ve daha sonra ortaya çıkan benzeri para-doksların, değişik biçimlerde Antik dönemlerde ortaya atıldığını biliyoruz. Bunlardan yalancı paradoksu olarak bilineni en ünlüsüdür. Kendisi de Giritli olan Eğimenides (İ.Ö. 6. yy)
Tüm Giritliler yalancıdır.
demiş. İlk bakışta çelişki gibi görünen, yüzyıllar boyunca öyle sayılan bu önerme aslında tam bir paradoks içermemektedir. Gerçi önerme doğruysa, yani Giritlilerin hepsi gerçekten yalancıysa, Giritli olan Epimenides’in savı doğru olamaz; öyleyse söylediği yanlıştır; yani Giritlilerin hepsi yalancı değildir. Ama bu tüm Giritlilerin, bu arada Epimenides’in doğru söylediği demek değildir. Oysa çelişki içeren bir önerme ya da sav doğru sayıl-dığında yanlış, yanlış sayıldığında doğru çıkmalıdır. Nitekim bu nitelikte bir paradoksu, Epimenides’ten iki yüzyıl sonra gelen Eubulides’in şu önermesi sergilemektedir.
Bu söylediğim yanlıştır.
Gerçekten bu önermeyi doğru ise yanlış, yanlış ise doğru saymak gerekir. Epimenides de “Ben şimdi yalan söylüyorum” deseydi, söylediği tam bir paradoks oluştururdu.
Paradokslardan kurtulma yolunda ortaya atılan çözüm önerileri içinde önemli sayılan iki tanesine deği-neceğiz. Bunlardan ilki; kümeler kuramını hiçbir kuşku ya da eleştiriye yer vermeyecek şekilde, iyice sınırlandı-rılmış aksiyomatik bir sistem kurmaktı. Bu yönde ilk girişim 1908’de Zermelo’dan gelir.Onu Fraenkel, Skolem,
von Neumann ve Beryanes gibi araştırmacılar izler. Ne var ki, aksiyomatikleştirmenin yeterince etkili bir çözüm olmadığı, üstelik paradoksları çözmeye değil, önlemeye yönelik olduğu çok geçmeden görülür.
İkinci öneri, paradoksları hem önlemeye hem de açıklamaya yönelik görünmektedir. Bilindiği gibi, bir kümeyi elemanları belirler. Elemanlardan herhangi birini kümeye başvurarak belirleme yoluna gittiğimizde, döngül bir tanımlamaya düşmüş oluruz. Buna göre, bir kümede, ancak o kümeye başvurularak tanımlanabilen elemana yer yoktur. Kuşkusuz bu kural küme kavramını sınırlayıcı niteliktedir. Ancak, Cantor’un genel küme kavramının yol açtığı paradoksları önlemek için böyle bir sınırlamayı göze almak kaçınılmaz görünmektedir.
Paradokslar sorununa, çeşitli çaba ve çözüm önerilerine karşın henüz üzerinde herkesin birleştiği bir çözüm getirilememiştir. Sorunun matematikçilerle filozofları, sözcükleri kullanmada, önermeleri oluşturmada daha dikkatli ve titiz davranmaya itmekle birlikte, dikkatleri matematiğin temellerine yöneltmekte de son derece yararlı bir sonucu olduğu yadsınamaz.
Matematikle empirik bilimlerin ilerlemesinde benzer ve farklı yanlar vardır. İki alanda da genellikle her atılım bir bunalımı izler. Ne var ki, bilim, hiç değilse kuramsal düzeyde, kümülatif değildir. Yeni teori, çözüm getirdiği bunalıma yol açan eski yerleşik teoriyle temelde bağdaşmaz niteliktedir. Matematikte ise ilerleme büyük ölçüde kümülatif niteliktedir. İrrasyonel sayılar rasyonel sayıların, sanal sayılar gerçel sayıların yadsın-masını gerektirmemiştir. Tam tersine, matematikteki her atılım, daha önce ulaşılmış olan birikime dayalı bir açılma, ya da genişleme demek olmuştur.
Matematiğe çok kez gelişimini doğru bir çizgi üzerinde sürdüren (ya da adım adım ilerleyen), problem-lerini er geç çözüme ulaştıran istikrarlı bir bilim gözüyle bakılır. Fakat bilimin diğer dallarında tanık olduğumuz türden duraklama, yoklaşma ya da bunalımlara; görüş yaklaşım ve yorum farklılıklarına matematikte de rastla-maktayız. Ancak her bunalımı, tüm olumsuz görünümüne karşın, yeni bir atılım veya açılmaya giden yolda baş-langıç koşulu olarak adlandırabiliriz. Bunalımlar, kısa ya da uzun sürsün hiçbiri geçici bir bocalama olmaktan ileri geçememiş; kimi kez sanıldığının tersine, matematiği ne geçersiz ne de işlemez kılan bir olay olmuştur.
Tarih boyunca matematiğin geçirdiği bunalımları dört ayrı ana bölümde toplayabiliriz:
• gibi rasyonel olmayan sayıların yol açtığı, başlangıçta “olanaksız” ya da “saçma” sayılan negatif (-1) ve sanal ( ) sayıların ortaya çıkmasıyla süren bunalım;
• Başlangıçta sağlam bir temele oturtulamayan ve kavramsal belirsizlik içinde kalan diferansiyel ve integral hesapların yol açtığı bunalım;
• Euclides’in 5.pustulatına ilişkin kuşku ve doyumsuzluktan kaynaklanan, Euclides dışı geometrile-rin ortaya çıkmasıyla büyüyen bunalım;
• Kümeler teorisinde başlayan paradoksların yarattığı, daha sonra Gödel teoremleriyle yeni bir boyut kazanan bunalım.
İlk Bunalım :İrrasyonel Sayılar
Matematikte bilinen ilk bunalım antik Yunan döneminde (İ.Ö. 5.y.y.) ortak ölçüsüz büyüklüklerin bulunmasıyla ortaya çıkar. İki tamsayının bölümü olarak belirlenemeyen doğru parçalarının varlığı,örneğin ke-narı bir birim olan karenin köşegeni, rasyonel bir sayı ile belirlenemeyen bu türden bir doğru parçasıdır. Bunun
yanı sıra Zeno’nun adıyla anılan birtakım paradoksların ortaya çıkmasıyla matematikteki bunalım yoğunluk kazanır. Değişik biçimlerde dile getirilen Zeno paradokslarının ortak özelliği şöyle bir varsayıma dayanmakta-dır: Sonlu bir sürede sonsuza giden sayıda devinime olanak yoktur.(Zeno paradoksunun yakından bakıldığında bir çıkarım hatasından kaynaklandığı görülür:Bir büyüklüğün sonsuz sayıdaki bölümlerinin toplamı o büyüklü-ğü sonsuz yapmaz.)
Matematiğin bu ilk bunalımdan çıkması kolay olmamıştır. İlk bunalımdan kurtuluş arayışları başlıca iki gelişmeye yol açmıştır:
I. İlginin sayısal kuramlardan geometriye kayması.
II. Geometrinin aksiyomatik bir sistem olarak oluşması.
İkinci Bunalım :Sonsuz Küçükler Hesabı
Modern matematik başladığında, matematik geleneğinde iki düşünce saklıdır. Bunlardan biri, Antik Yunan matematiğinden kaynaklanan ispata dayalı geometri, diğeri Hint ve İslam matematiğinde ön plana çıkan sayı kavramı ve ona dayalı cebir. Bugün bildiğimiz matematiği büyük ölçüde XVII. yüzyılda gerçekleşen iki önemli buluşun yol açtığı gelişmelere borçluyuz.
Bunlardan ilki Descartes (1596 - 1650)’in o zamana dek birbirinden tümüyle ayrı görünen matematiğin iki dalını, geometri ile cebiri, birleştirme çabasının bir ürünüdür. Şimdi analitik geometri olarak bilinen bu çalışmada, koordinatlar aracılığıyla eğrileri denklemlerle, dolayısıyla eğrilerin geometrik özelliklerini cebirsel formüllerle belirleme olanağı doğar. Üstelik denklemleri de grafikle dile getirmeye olanak sağlamakla analitik geometri, cebirin analize dönüşmesine, bu arada değişken, fonksiyon ve fonksiyonel bağımlılık gibi kavramların belirginleşmesine, bu kavramların geometrik terimlerle ifadesine yol açar.
İkinci büyük gelişme, daha sonra analiz denen çalışmaya yol açan, Newton ile Leibniz’in birbirinden bağımsız olarak oluşturdukları sonsuz küçükler hesabıdır.(infinitesimal calculus)
XIX. yüzyıl matematikçileri, ulaştıkları parlak başarıların etkisinde, eleştirel tutumdan uzak kalmış, her şeyin yolunda olduğu gibi bir iyimserlik havasına girmişlerdi. Bu yüzden olmalı ki, ne analitik geometri, ne de sonsuz küçükler hesabı sağlam bir temele oturtulmadan kalmıştı. XIX. yüzyılda Gauss (1777-1855) ile Cauchy
( 1789- 1857 ) gibi matematikçiler bir yandan eleştirel tutum izlerken, öbür yandan yeni buluşlara yönelik atılımlar sergilemişlerdir. Gauss çalışmasının önemli bir bölümünü matematiği sağlam bir temele oturtma amacına yöneltmişti. Onun cebirin temel teoremi olarak bilinen karmaşık sayılar alanında her cebirsel
denklemin bir kökü olduğu savını ispat uğraşı bu amaca yönelik önemli bir çalışmadır. O güne değin belisiz kalan karmaşık sayılar kavramı bile Gauss’un çalışmasında açıklık kazanır.
Analizi gerçel sayılar alanından karmaşık sayılar alanına genişletme işini ise büyük ölçüde Cauchy’ye borçluyuz. Karmaşık bir değişkene ait karmaşık fonksiyonlar teorisini oluşturan Cauchy, sonsuz küçükler gibi ne olduğu açık olmayan kavramları matematikten ayıklama çabasıyla analizde gerçek bir reforma yönelir. (Sonsuz küçükler giderek kaybolma yolunda -yani sıfıra yaklaşan- nesnel miktarlar olarak varsayılıyor, diferansiyel katsayı ve integrallerin bunlardan oluştuğu sanılıyordu. Oysa, bu kavram tam bir belirsizlik içindeydi.) Limit süreklilik gibi kavramlar ilk kez onun elinde açık ve belirgin anlamlarını kazanmıştır. Cauchy’nin limitler teorisi daha sonra Weierstrass’ın çalışmasıyla birleşerek sonsuz küçükler kavramını gerek-siz kılar. Bu gelişmeyle ortaya çıkan sonsuz sayılar ile süreklilik sorunlarını ise George Cantor ele alır. Cantor sonsuz bir dizi ya da kümeyi, kardinal sayısı herhangi bir alt-bölümünün kardinal sayısına denk olan küme diye tanımlar. Başka bir deyişle sonsuz bir kümedeki elemanlar ile, o kümenin bir alt-bölümüne ait elemanlar bire-bir eşleştirilebilir. Cantor, geliştirdiği sonsuz sayılar teorisinde farklı büyüklükte sonsuz dizi ya da kümelerin olduğunu gösterir.
Analiz bugün bilinen kimliğine büyük ölçüde XIX. yüzyılın ikinci yarısında Karl Weierstrass(1815-1897)’ın çalışmasıyla ulaşır.
Üçünü Bunalım :Euclides-dışı Geometriler
İki bin yılı aşkın bir süre boyunca “biricik geometri” kimliğini koruyan Euclides geometrisinden farklı geometrilerin ortaya çıkışı kolayca sindirilebilir bir gelişme olamazdı. Kant’a göre geometrinin konusu uzay, temel özelliklerini aklımızın yapısına borçluydu; geometri önermeler bu nedenle zorunlu a priori doğrulardı. Başka bir deyişle, bir tek geometriye olanak vardı, o da Euclides geometrisiydi.
Biri analizde, diğeri geometride ortaya çıkan bu iki tedirginlik, XIX. yüzyılı bir bunalım dönemine dönüştürmüştü. İlk kez bu dönemde birtakım belirsizlik, çelişki ve üstünkörülüklerle yüklü olduğu gözlenen matematiğin, aynı zamanda temelde bir bütün oluşturduğu bilinci uyanmıştır. Bunalımı aşma çaba ve arayışla-rının hemen hepsinde bu ortak bilincin etkisini bulmaktayız.
Matematiğin pekiştirilmesine yönelik bu çabada “mantıksal” diyebileceğimiz bir yaklaşımdan da söze-debiliriz. Richard Dedekind(1831-1916)’in çalışmasında kendini gösteren bu yaklaşım, Peano, Frege ve Russell gibi mantıkçı-matematikçilerde daha belirgin bir karakter kazanır.
Daha çok gerçel sayılara ilişkin teorik çalışmalarıyla tanınan Dedekind, diferansiyel ve integral hesapla-rı aritmetik bir temele oturtmaya yönelir. Mantıksal çözümlemeyi içeren bu temellendirme, Peano ile önemli bir dönüm noktasına ulaşır. Peano da Dedekind gibi, kavram ve yöntemlerde üstünkörülükten kurtulma, daha kesin ve belirgin olma çabasındaydı. Matematikte sağduyu ile sezgiye gereğinden fazla yer verilmesi tutumuna karşıydı. Soyut matematik, sağduyu ve sezgiye dayanan gelişigüzel bir çalışma olamazdı; tersine, kendi içinde yeterli, formel ya da mantıksal bir sistem olmalıydı.
Frege, matematiğin mantıksal temellerini derinlemesine irdelemiş, aritmetiğe, geometrinin eriştiği düze-yin de ötesinde bir ispat bilimi kimliği kazandırmaya çalışmıştır. Matematik bir yandan daha sıkı bir mantıksal nitelik kazanırken öte yandan ona sağlam bir temel bulma çabaları yer almaya başlar. Yüzyılımızın başlarında büyük yoğunluk kazanan bu çabalar, önceki yüzyıllarda ulaşılan sonuçları daha belirgin, tutarlı ve kesin kılma-nın yanısıra, matematiksel düşünme yöntemine de bir açıklık getirir. Artık matematiğe bir yığın formül, teknik bilgi ve teorem ispatı içeren soyut bir çalışma olmanın ötesinde bir düşünme yöntemi gözüyle bakılmaya başlanır.
Dördüncü Bunalım
aradokslarYüzyılımızın başında patlak veren bu bunalım Cantor’un genel kümeler kuramına ilişkin paradokslardan kaynaklanır. Cantor oluşturduğu kümeler kuramında herhangi bir sonsuz sayıdan daima daha büyük sonsuz bir sayının olduğunu ispatlamıştı.
Bertrand Russell (1872-1970)’ın 1901’de bulduğu paradoks doğrudan küme kavramından kaynaklanan bir paradokstu. Russell kümeleri kendi kendisine üye olup olmamasına göre ikiye ayırarak, paradoksunu oluşturur. Russell paradoksu, kümeler teorisinde matematik için sağlam bir temel bulunduğu düşüncesine bek-lenmeyen bir darbe indirir.
Bugün bile doyurucu bir çözüme kavuştuğu söylenemeyen bu ve daha sonra ortaya çıkan benzeri para-doksların, değişik biçimlerde Antik dönemlerde ortaya atıldığını biliyoruz. Bunlardan yalancı paradoksu olarak bilineni en ünlüsüdür. Kendisi de Giritli olan Eğimenides (İ.Ö. 6. yy)
Tüm Giritliler yalancıdır.
demiş. İlk bakışta çelişki gibi görünen, yüzyıllar boyunca öyle sayılan bu önerme aslında tam bir paradoks içermemektedir. Gerçi önerme doğruysa, yani Giritlilerin hepsi gerçekten yalancıysa, Giritli olan Epimenides’in savı doğru olamaz; öyleyse söylediği yanlıştır; yani Giritlilerin hepsi yalancı değildir. Ama bu tüm Giritlilerin, bu arada Epimenides’in doğru söylediği demek değildir. Oysa çelişki içeren bir önerme ya da sav doğru sayıl-dığında yanlış, yanlış sayıldığında doğru çıkmalıdır. Nitekim bu nitelikte bir paradoksu, Epimenides’ten iki yüzyıl sonra gelen Eubulides’in şu önermesi sergilemektedir.
Bu söylediğim yanlıştır.
Gerçekten bu önermeyi doğru ise yanlış, yanlış ise doğru saymak gerekir. Epimenides de “Ben şimdi yalan söylüyorum” deseydi, söylediği tam bir paradoks oluştururdu.
Paradokslardan kurtulma yolunda ortaya atılan çözüm önerileri içinde önemli sayılan iki tanesine deği-neceğiz. Bunlardan ilki; kümeler kuramını hiçbir kuşku ya da eleştiriye yer vermeyecek şekilde, iyice sınırlandı-rılmış aksiyomatik bir sistem kurmaktı. Bu yönde ilk girişim 1908’de Zermelo’dan gelir.Onu Fraenkel, Skolem,
von Neumann ve Beryanes gibi araştırmacılar izler. Ne var ki, aksiyomatikleştirmenin yeterince etkili bir çözüm olmadığı, üstelik paradoksları çözmeye değil, önlemeye yönelik olduğu çok geçmeden görülür.
İkinci öneri, paradoksları hem önlemeye hem de açıklamaya yönelik görünmektedir. Bilindiği gibi, bir kümeyi elemanları belirler. Elemanlardan herhangi birini kümeye başvurarak belirleme yoluna gittiğimizde, döngül bir tanımlamaya düşmüş oluruz. Buna göre, bir kümede, ancak o kümeye başvurularak tanımlanabilen elemana yer yoktur. Kuşkusuz bu kural küme kavramını sınırlayıcı niteliktedir. Ancak, Cantor’un genel küme kavramının yol açtığı paradoksları önlemek için böyle bir sınırlamayı göze almak kaçınılmaz görünmektedir.
Paradokslar sorununa, çeşitli çaba ve çözüm önerilerine karşın henüz üzerinde herkesin birleştiği bir çözüm getirilememiştir. Sorunun matematikçilerle filozofları, sözcükleri kullanmada, önermeleri oluşturmada daha dikkatli ve titiz davranmaya itmekle birlikte, dikkatleri matematiğin temellerine yöneltmekte de son derece yararlı bir sonucu olduğu yadsınamaz.
Matematikle empirik bilimlerin ilerlemesinde benzer ve farklı yanlar vardır. İki alanda da genellikle her atılım bir bunalımı izler. Ne var ki, bilim, hiç değilse kuramsal düzeyde, kümülatif değildir. Yeni teori, çözüm getirdiği bunalıma yol açan eski yerleşik teoriyle temelde bağdaşmaz niteliktedir. Matematikte ise ilerleme büyük ölçüde kümülatif niteliktedir. İrrasyonel sayılar rasyonel sayıların, sanal sayılar gerçel sayıların yadsın-masını gerektirmemiştir. Tam tersine, matematikteki her atılım, daha önce ulaşılmış olan birikime dayalı bir açılma, ya da genişleme demek olmuştur.
