- Katılım
- 1 Temmuz 2014
- Mesajlar
- 139
- Tepkime puanı
- 1
- Puanları
- 106
PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – BİNOM
I. PERMÜTASYON
A. SAYMANIN TEMEL KURALI
1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.
2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m . n yolla yapılabilir.
*
B. FAKTÖRİYEL
1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.
0! = 1 olarak tanımlanır.
1! = 1
2! = 1 . 2
.................
.................
.................
n! = 1 . 2 . 3 . ... . (n – 1) . n
Ü* n! = n . (n – 1)!
Ü* (n – 1)! = (n – 1) . (n – 2)!* dir.
Ü* n . n! = (n + 1)! – n!
*
C. TANIM
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.
n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı,
*
Ü *1) P(n, n) = n!
**** 2) P(n, 1) = n
**** 3) P(n, n – 1) = n! dir.
*
D. TEKRARLI PERMÜTASYON
n tane nesnenin; n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, ... , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun.
n = n1 + n2 + n3 + ... + nr
olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,
*
E. DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON
n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir.
n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :
(n – 1)! dir.
*
n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa sıralanmalarının
sayısı : (n > 2)
*
*
II. KOMBİNASYON
TANIM
r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir.
n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı
*
Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur.
*
*
Ü* n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı:
***
*
Ü* Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;
**** a) Çizilebilecek doğru sayısı
**** b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan tane üçgen çizilebilir.
Ü* Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çok farklı
*** noktada kesişirler.
Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir.
*
Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan tane paralelkenar oluşur.
Ü* Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok tane kesim
*** noktası vardır.
*
III. BİNOM AÇILIMI
A. TANIM
n Î IN olmak üzere,
ifadesine binom açılımı denir.
Burada;
sayılarına binomun kat sayıları denir.
ifadelerinin her birine terim denir.
ifadesinde kat sayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir.
B. (x + y)n AÇILIMININ ÖZELİKLERİ
1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır.
2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n dir.
3) Kat sayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır. Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir.
4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde;
**** baştan (r + 1). terim :
**** sondan (r + 1). terim :
(x – y)n ifadesinin açılımında 1. terimin işareti (+), 2. terimin işareti (–), 3. terimin işareti (+) ... dır.
Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir.
*
Ü* n Î N+ olmak üzere,
*** (x + y)2n nin açılımında ortanca terim
***
*
Ü* n Î IN+ olmak üzere,
*** açılımındaki sabit terim,
***
*** ifadesinde m . (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur.
*
Ü* c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için x = 0 ve y = 0 yazılır.
*
Ü* (a + b + c)n nin açılımında ak . br . cm li terimin kat sayısı;
I. PERMÜTASYON
A. SAYMANIN TEMEL KURALI
1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir.
2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m . n yolla yapılabilir.
*
B. FAKTÖRİYEL
1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir.
0! = 1 olarak tanımlanır.
1! = 1
2! = 1 . 2
.................
.................
.................
n! = 1 . 2 . 3 . ... . (n – 1) . n
Ü* n! = n . (n – 1)!
Ü* (n – 1)! = (n – 1) . (n – 2)!* dir.
Ü* n . n! = (n + 1)! – n!
*
C. TANIM
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir.
n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı,
*
Ü *1) P(n, n) = n!
**** 2) P(n, 1) = n
**** 3) P(n, n – 1) = n! dir.
*
D. TEKRARLI PERMÜTASYON
n tane nesnenin; n1 tanesi 1. çeşitten, n2 tanesi 2. çeşitten, ... , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun.
n = n1 + n2 + n3 + ... + nr
olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,
*
E. DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON
n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir.
n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :
(n – 1)! dir.
*
n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa sıralanmalarının
sayısı : (n > 2)
*
*
II. KOMBİNASYON
TANIM
r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir.
n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı
*
Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur.
*
*
Ü* n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı:
***
*
Ü* Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;
**** a) Çizilebilecek doğru sayısı
**** b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan tane üçgen çizilebilir.
Ü* Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çok farklı
*** noktada kesişirler.
Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir.
*
Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan tane paralelkenar oluşur.
Ü* Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok tane kesim
*** noktası vardır.
*
III. BİNOM AÇILIMI
A. TANIM
n Î IN olmak üzere,
ifadesine binom açılımı denir.
Burada;
sayılarına binomun kat sayıları denir.
ifadelerinin her birine terim denir.
ifadesinde kat sayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir.
B. (x + y)n AÇILIMININ ÖZELİKLERİ
1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır.
2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n dir.
3) Kat sayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır. Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir.
4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde;
**** baştan (r + 1). terim :
**** sondan (r + 1). terim :
(x – y)n ifadesinin açılımında 1. terimin işareti (+), 2. terimin işareti (–), 3. terimin işareti (+) ... dır.
Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir.
*
Ü* n Î N+ olmak üzere,
*** (x + y)2n nin açılımında ortanca terim
***
*
Ü* n Î IN+ olmak üzere,
*** açılımındaki sabit terim,
***
*** ifadesinde m . (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur.
*
Ü* c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için x = 0 ve y = 0 yazılır.
*
Ü* (a + b + c)n nin açılımında ak . br . cm li terimin kat sayısı;
