Vieta Formülleri - Vieta Formülleri Nedir
Matematik'te, özellikle de cebirde, François Viète'nin adıyla anılan Viète'nin formülleri, bir polinomun kökleriyle katsayıları arasındaki ilişkiyi veren formüllerdir.
Eğer
derecesi
olacak şekilde bir polinom ve bu polinomun katsayıları karmaşık sayılardan oluşuyorsa (yani
sayıları kompleks, ve an sıfırdan farklı), Cebirin Temel Teoremi'ne göre P(X) n (farklı ya da çakışık) karmaşık köke sahiptir, bu kökler:
Bu kökler ve katsayılar arasındaki Viète Formülleri aşağıdaki gibidir:
Anlamı, P(X)'in k tane farklı köklerinin oluşturduğu tüm altkümelerinin çarpımı ( − 1)kan − k / an'ya eşittir, diğer bir deyişle (köklerin oluşturduğu her altkümenin bir defa kullanılmasının garantilemek için, çarpımlarını artan indise göre sıralayarak):
şeklinde her
yazabiliriz.
İkinci dereceden bir bilinmeyenli cebirsel bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki
İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler genel olarak P(X) = aX2 + bX + c şeklinde ifade edilebilir. Vièta'ya göre, P(X) = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 için kökler toplamı ve kökler çarpımı aşağıdaki kuralları sağlamaktadır:
Bu denklemlerden ilki P nin minimum ya da maksimum değerlerini bulmada kullanılabilir.
Vieta formüllerinin ispatı
Viète'nin Formülleri aşağıdaki eşitliği yazıp, polinomların eşitliği kullanılarak gösterilebilir:
bu polinomun kökleri olduğu için denklemin sağındaki ifade doğrudur), sağ taraftaki ifadeleri çarıp, X.'in aynı dereceli terimlerini bir araya toplayarak gösterebilir.
Matematik'te, özellikle de cebirde, François Viète'nin adıyla anılan Viète'nin formülleri, bir polinomun kökleriyle katsayıları arasındaki ilişkiyi veren formüllerdir.
Eğer
Anlamı, P(X)'in k tane farklı köklerinin oluşturduğu tüm altkümelerinin çarpımı ( − 1)kan − k / an'ya eşittir, diğer bir deyişle (köklerin oluşturduğu her altkümenin bir defa kullanılmasının garantilemek için, çarpımlarını artan indise göre sıralayarak):
İkinci dereceden bir bilinmeyenli cebirsel bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki
İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler genel olarak P(X) = aX2 + bX + c şeklinde ifade edilebilir. Vièta'ya göre, P(X) = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 için kökler toplamı ve kökler çarpımı aşağıdaki kuralları sağlamaktadır:
Vieta formüllerinin ispatı
Viète'nin Formülleri aşağıdaki eşitliği yazıp, polinomların eşitliği kullanılarak gösterilebilir:
